机器学习之单变量线性回归,CS229学习笔记

大家在上一节房子贩卖价格数据集的根基上,增加房间数目这一特性变量,如下图所示:

1. 模型表明(Model Representation)

大家的首先个上学算法是线性回归算法,让大家透过一个例子来开头。那几个例子用来预测商品房价格,大家使用一个数据集,该数量集带有肯Taki州拉巴斯市的民居房价格。在那边,笔者要依靠分化屋家尺寸所卖出的标价,画出小编的数据集:

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笔者们来看那一个数据集,假如你有三个有相爱的人正想出卖本身的房舍,如果你朋友的屋子是1250平平方英尺大小,你要告知她们那屋子能卖多少钱。
那么,你能够做的一件事便是构建二个模子,只怕是条直线。从这些数据模型上来看,或许你能够告诉您的心上人,他大概能以2贰仟0英镑左右的标价卖掉那个房屋,明显那正是监督检查学习算法的一个例子。

在上一篇博文Introduction to Machine
Learning,大家已经领悟到之所以这几个事例被称作
Supervised Learning
,是因为对此每一种数据以来,大家付出了“正确的答案”。并且,更具体来讲,那是贰个回归难点。回归一词指的是大家依照此前的数码预测出二个确切的输出值。对于这么些例子正是价格。

並且,还应该有另一种最常见的 Supervised Learning
的主意叫做分类难题。更上一层楼来讲,在 Supervised Learning
中我们有多个数据集,这几个数额集被称练习集。因而对于房价的例子,我们有叁个包罗分歧房屋价格的陶冶集,咱俩的职务就是从那些磨练集中学习并预测屋企价格

现今我们付出平时使用的部分标识定义,如下:

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用 m
来表示练习样本的数据,因而,在这么些数目汇总假使表中有47行,那么大家就有47组织练习练样本,m就等于47。

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用小写字母 x 来表示输入变量,往往也被誉为特征量,正是用 x
表示输入的特征,并且大家将用 y
来表示输出变量大概指标变量,也正是小编的前瞻结果,也正是上边表格的第二列。

在此地大家要利用 (x, y)
来代表四个陶冶样本,因此,在这一个表格中的单独的一行对应于多个训​​练样本。

为了表示某些特定的锻练样本,大家将使用x上标(i)与y上标(i)来表示,况且用那么些来代表第
i 个陶冶样本,所以上标为 i ,注意那不是求幂运算,那一个(x(i), y(i))
括号里的上标 i 只是两个索引,表示本人的演习集里的第 i 行。

我们的屋宇价格估摸正是一个监察和控制学习算法的做事办法,如下图:

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我们能够看看这里有我们的演习集里屋子价格,大家把它喂给大家的学习算法,进而读书猎取二个函数,遵照规矩,平时表示为小写
h,h 代表 hypothesis(假若), 在此地,h
表示多少个函数,其输入是房屋尺寸大小。由此 h 依照输入的 x 值来得出 y 值,y
值对应房屋的价钱。由此,h 是三个从 x到 y 的函数映射。

我们平时会有那样的难题:为啥这一个函数被称作要是(hypothesis)?你们中某个人也许驾驭hypothesis
的意味,从字典大概别的什么艺术得以查到。其实在机械学习中,那是一个在开始时期被用于机器学习的名称,它有一点点绕口,对一些函数来讲这或然不是七个很有分寸的名字。举例,对代表从屋子的大大小小到价格的函数映射,作者以为那一个词
“hypothesis”
就可能不是最佳的称谓。不过那是群众在机器学习中利用的正经术语,所以我们决不太纠葛大家怎么这么叫它。

小结:当解决房价预测难点时,大家其实是要将磨炼集“喂”给大家的上学算法,进而读书得多个一旦
h,然后将大家要猜度的屋宇的尺寸作为输入变量输入给
h,预测出该房子的交易价格作为出口变量输出为结果。

当我们在安插学习算法的时候,要求去商量的是什么样得到那些只要
h。举个例子,对于我们的房价预测难题,大家该怎么表明 h ?
一种可能的表达格局为:

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因为只含有七个特色/输入变量,由此那样的标题叫作单变量线性回归难点。

那正是说为啥是三个线性函数呢?
实际上,一时候我们会有更头眼昏花的函数,大概是非线性函数,不过由于线性方程是简单的花样,我们将先从线性方程的例子入手。当然,最后大家将会创立更复杂的模子以及更头晕目眩的学习算法。

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2. 代价函数(Cost Function)

接下去大家将概念代价函数的概念,这将推向大家弄理解怎么将最有望的直线与大家的数量相拟合。

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在线性回归中大家有三个像上图一律的教练集 记住 m
代表了练习样本的多少,举例,此处 m = 47 。

而小编辈的比方函数(也正是用来进展预测的函数),线性函数情势也已在上航海用体育场合中象征出来了。

接下去我们引进一些术语,诸如 θ0 和 θ1 之类这一个 θi
大家平常称其为模型参数。那么大家怎么着选拔那多个参数值 θ0
θ1 呢?采纳差异的参数   θ0 和 θ1
大家会收获分化的比方函数。举例下图:

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在线性回归中,大家有一个演习集,大家要做的正是近水楼台先得月 θ0
θ1
那三个参数的值,来让假诺函数表示的直线尽量地与这几个数总部很好的拟合。那么大家怎么得出
θ0 和 θ1 的值,来使它很好地拟合数据的啊?

笔者们的主张是,大家要采用能使 h(x) 输入 x
时我们估摸的值最周边该样本对应的 y 值的参数 θ0
θ1 。在我们的教练聚焦有必然数额的范本,大家驾驭 x
表示卖出哪所房屋,并且知道那所房屋的其实价格,所以,大家要挑选参数值,尽量使得在教练聚焦交付的
x 值,能确切地预测 y 的值。

让我们付出标准的概念,在线性回归中,大家要缓和的是三个最小化难点

我们选用的参数 θ0 和 θ1
决定了笔者们获得的直线相对于大家的陶冶集的纯粹程度,模型所预测的值与磨练聚焦实际值之间的反差(下图紫酱色线所指)正是建立模型相对误差(modeling
error)。

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我们的对象正是采纳出能够使得建立模型固有误差的平方和能力所能达到最小的模子参数。即便得代价函数:

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小小的。大家绘制三个等高线图,三个坐标分别为 θ0
θ1 和J(θ01):

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可以看看在三个维度空间中设有壹个使得J(θ0,θ1)最小的点。

于是,特征变量图片 13形成了维度为2的向量,记作图片 14,其中图片 15表示数据聚集第i个屋家的房子面积,则图片 16表示数据汇总第i个屋企的房子数目。

3. 梯度下跌(Gradient Descent)

我们早就定义了代价函数,以往咱们来介绍梯度下落算法,该算法可以将代价函数
J
最小化。梯度下跌是很常用的算法,它不仅仅被用在线性回归上,何况被普遍的行使于机器学习的不在少数天地中,之后为了减轻别的线性回归难题,我们也将采取梯度下跌法来最小化别的函数。

在此处,大家有三个函数 J(θ01)
,只怕那是三个线性回归的代价函数,大概是部分别样函数,要使其最小化,大家须要用多个算法来异常的小化函数   
J(θ0
1),事实表明,梯度下落算法可选择于五花八门的函数求解,所以想象一下比如你有贰个函数J(θ0,
θ1, θ2, …,θn ),你指望可以透过最小化 θ0 到 θn 来最小化此代价函数J(θ0
到θn),用n个θ是为着验证梯度下落算法能够缓和更相像的主题素材。但为了简洁起见,为了简化符号,在接下去的斟酌中,大家只用七个参数。

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下边正是至于梯度下跌的构想。首先大家要做的是对 θ0  和 θ1
展开初阶化。实际上,它们到底是怎么实际并不主要,但平日的接纳是将 θ0
设为0
,同一时间也将 θ1 也设为0,将在它们都起来化为0。

大家在梯度下落算法中要做的正是不停地一小点地改动 θ0 和 θ1
,试图通过这种转移使得 J(θ01)
变小,直到大家找到 J(θ01)
的一丁点儿值。只怕是有个别最小值。

让大家经过一些图纸来探访梯度下跌法是如何工作的,大家在企图让
J(θ01)  最小,注意坐标轴 θ0 和 θ1
在档案的次序轴上,而函数 J(θ01)
在笔直坐标轴上,图形表面中度正是 J(θ01)
的值。大家期待最小化那一个函数,因而我们从 θ0 和 θ1
的某部值出发。所以想象一下,对 θ0 和 θ1
赋以某些初值,也便是对应于从这么些函数表面上的有个别起首点出发,因此不管 θ0
和 θ1 的取值是稍稍,作者将它们开首化为0。但不时你也可把它开端化为别的值。

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今日自己梦想大家把那一个图像想象为一座山。想像类似那样的风景,公园中有两座山,想象一下你正站立在山的那或多或少上,站立在您想像的公园那座深绿山上。在梯度下落算法中,大家要做的正是旋转360度,看看我们的相近,并问本身,假使本身想要下山,借使自身想趁早走下山,我们要求朝什么方向?

举个例子大家站在山坡上的某一点,你看一下四周
​,你会开采最好的下山方向大概是可怜样子。好的,今后你在高峰的新起源上,你再看六柱预测近,然后再叁次合计本人应该从哪些趋势迈着小碎步下山?
然后您依照自个儿的判别又迈出一步,往极度样子走了一步。然后重新上边的手续,从那几个新的点,你环顾四周并决定从什么趋势将会最快下山,然后又迈进了一小步,又是一小步…并举一个例子就类推其余的,直到你就如局地最低点的职分。

其余这种暴跌有一个相映生辉的表征,分裂的起首点伊始张开梯度下落算法,你会博得一个非凡分裂的片段最优解,那就是梯度下跌算法的贰个特点。

下图是梯度下跌算法的概念:

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小心,在梯度下跌算法中,大家须要同偶尔候更新 θ0 和 θ1。

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如果学习速率太小,只能这么像婴儿同样一丢丢地运动,去拼命邻近最低点,那样就供给广大步技术达到最低点。

如若上学速率太大,那么梯度下落法只怕会凌驾最低点,以致大概不能够消失。实际上,会离最低点越来越远,因而,倘诺α太大,会促成无法磨灭,以至发散。

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若是你的参数已经处在局地最低点,那么梯度下跌法立异其实什么都没做(求导为0),它不会变动参数的值,那相当于你想要的,因为它令你的解始终保持在局地最亮点,那也解释了干吗固然学习速率
α 保持不改变时,梯度下落也得以消灭到有的最低点

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梯度下跌一步后,新的导数会变小一丝丝。随着梯度下跌法的周转,你运动的幅度会自行变得越来越小,直到最后移动幅度十分小,你会开掘已经熄灭到有的比相当小值。

在梯度下跌法中,当大家好像局地最低点时,梯度下跌法会自动选拔越来越小的幅度。这是因为当大家好像局地最低点时(很显明在有的最低时导数等于零
),导数值会自动变得进一步小,所以梯度下落将电动选取比较小的升幅,那正是梯度下落的做法,所以实际上并未要求再别的减小α。

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实际上,用于线性回归的代价函数总是表现贰个弓形的规范,那些函数的职业术语是凸函数。那么些函数未有其余部分最优解,唯有叁个大局最优解。

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骨子里,我们刚刚介绍的梯度下落,是“批量梯度下落”,指的是,在梯度下跌的每一步中大家都用到了具备的训​​练样本。在梯度下跌中,在测算微分求导项时,大家须求实行求和平运动算,所以在每二个独立的梯度下跌中,大家最终都要计算那样一项,那项需求对负有m个磨练样本求和。

而实际,也会有其它品类的梯度下跌法不是这种”批量”型的,不挂念一切的陶冶集,而是每回只关注磨炼集中的一部分小的子集。

对于此监督学习难点,若我们采取线性回归模型,其要是函数图片 28为:

图片 29

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